Logo da ESSS do Loading

Blog ESSS

O maior arquivo de conteúdo sobre simulação computacional da América Latina.

Métodos numéricos para simulação na engenharia

Tecnologia de Simulação

Neste post abordamos que problemas de engenharia podem ser resolvidos através de diferentes metodologias, sendo que a solução por métodos numéricos proporciona uma série de pontos positivos que colaboram para uma melhor compreensão dos fenômenos com um bom balanceamento entre tempo, custo e qualidade. Diversas metodologias podem ser usadas para resolver estes problemas, e neste artigo algumas das mais difundidas serão apresentadas.

Os métodos numéricos são aplicações de algoritmos pelas quais é possível formular e resolver problemas matemáticos usando operações aritméticas menos complexas. Estes também são conhecidos como métodos indiretos. A análise numérica idealiza e concebe métodos para “aprovar” de forma eficiente as soluções de problemas expressados ​​matematicamente. O objetivo principal da análise numérica é encontrar soluções “aproximadas” para problemas complexos.

Um algoritmo é um grupo finito de operações organizadas e ordenadas que permite resolver um certo problema. Trata-se de uma série de instruções ou regras estabelecidas que, por meio de uma sucessão de etapas, permitem aproximar o resultado real.

análise numérica é o estudo de algoritmos que busca resultados numéricos de problemas das mais diferentes áreas do conhecimento humano, modelados matematicamente. Em geral, os algoritmos de métodos numéricos se dividem em diretos, recursivos e iterativos. Por exemplo, os iterativos apresentam uma sucessão de passos que converge ou não para o valor aproximado da solução exata. É objetivo da análise numérica encontrar sucessões que aproximem os valores exatos com um número mínimo de operações elementares.

Embora a análise numérica tenha sido concebida antes dos computadores, correntemente o assunto se relaciona a uma interdisciplinaridade entre a matemática e a tecnologia da informação. Também é muito referido na disciplina de cálculo numérico.

As descrições aqui apresentadas são simplificadas e objetivam fazer com que o leitor entenda os fundamentos dos métodos, suas diferenças e principais aplicações.  São eles:

Neste artigo, iremos fazer um panorama introdutório dos fundamentos dos principais métodos, suas diferenças e principais aplicações.

Método dos Elementos Finitos (FEM)

O método dos elementos finitos (FEM – Finite Element Method) é um método numérico para resolver problemas de engenharia e física matemática. É aplicável para diferentes disciplinas da engenharia como estrutural, térmica e eletromagnética.

É um método numérico que ultrapassa os limites dos problemas que se resolvem com soluções analíticas, sendo adequado para tratar problemas com geometrias, carregamentos e propriedades de materiais complexos.

Considere um domínio, i.e., a geometria do objeto de estudo. Este domínio será considerado contínuo. Este contínuo é dividido num número discreto de pequenos corpos com formato específico denominados elementos finitos, e interconectados por pontos comuns denominados pontos nodais ou nós.

 

O procedimento de discretização (a divisão do contínuo em partes menores), equacionamento e cálculo é adequado para a programação e posterior uso em computadores, o que o tornou muito popular e útil para diferentes indústrias. Em resumo, a divisão da geometria em elementos finitos permite resolver um problema complexo, subdividindo-o em problemas mais simples, o que possibilita ao computador realizar com eficiência estas tarefas.

O método dos elementos finitos resolve diferentes problemas que são equacionados e reduzidos a sistemas de equações diferenciais. Por exemplo, considerando-se estruturas chega-se a uma equação, dita equação do movimento, que resume o equilíbrio entre esforços internos de uma estrutura (força inercial, força de amortecimento e força elástica) e uma força externa. Se o problema é estático ou quase estático, considera-se apenas o equilíbrio entre esforços internos elásticos e os esforços externos.

Examine-se um problema simples estático,  para entendimento, cujos fundamentos serão aplicados para solução pelo método dos elementos finitos.

Em 1660 Robert Hooke observou e descreveu a chamada lei da Elasticidade, que leva seu nome: a Lei de Hooke. Descreve que a variação da tensão com a extensão numa mola é linear.


Figura 1: Relação (Lei de Hooke) entre esforço externo (F), rigidez (K) e deslocamento (u)

K.u representa o esforço interno .
Num problema onde a geometria é mais complexa do que uma mola linear, discretiza-se a geometria e a partir de cada componente (elemento) da estrutura discretizada e do conhecimento das propriedades de matérias que a constituem, obtém-se a rigidez do elemento.  Os elementos são conectados pelos vértices, chamados nós, formando a estrutura contínua discretizada.

Matematicamente, com a rigidez de cada elemento e conhecendo-se os movimentos de cada nó chamados de graus de liberdade (GDL) ou, em inglês, Degrees of Freedom (DOF), forma-se uma matriz de rigidez que representa a rigidez da estrutura de geometria complexa.

Na figura 2, que representa rigidez global, N é o número do grau de liberdade.

 

Figura 2: Matriz de rigidez global da estrutura

Pode-se, desta maneira, escrever a relação em forma matricial, entre esforço externo, rigidez e deslocamento.Onde:

} – vetor de esforços externos

[ K ]– rigidez global

{ u }– vetor dos deslocamentos

Neste problema, os deslocamentos são os valores desconhecidos (as incógnitas) do problema, e, na sequência, um procedimento de solução de sistemas de equações (um solver) é utilizado e os deslocamentos de cada nó são calculados. A partir dos deslocamentos obtêm-se as tensões, deformações, reações de apoio e outras respostas que buscam os analistas.

Método dos Elementos Discretos (DEM)

Um método dos elementos discretos ou método dos elementos distintos (DEM – Discrete Element Method or Distinct Element Method) é, de fato, algum método de uma família de métodos para calcular o movimento e o efeito de um grande número de partículas pequenas (discretas).

O método dos elementos discretos está relacionado à dinâmica molecular, mas se diferencia devido à inclusão de graus de liberdade (movimentos) de rotação, contato entre os elementos discretos e, frequentemente, geometrias complexas usadas para definí-los.

Há diferentes ramificações da família, como o método dos elementos distintos proposto por Cundall em 1971, o método dos elementos discretos generalizados (Willians, Hocking e Mustoe) em 1985, o método de deformação descontínua (Shi, 1992) e o método dos elementos finitos discretos desenvolvido simultaneamente por diferente equipes (por exemplo Munjiza e Owen). O método geral foi desenvolvido originalmente por Peter Cundall em 1971 para solucionar problemas com geomecânica (rochas).

Em poucas palavras uma simulação com o DEM é iniciada com a geração de um modelo onde resultam em orientação espacial e velocidade inicial para todas as partículas. As forças que atuam em cada partícula são calculadas partir das condições iniciais, e das leis da física relevantes (mecânica Newtoniana) e contato. O resultado, um novo arranjo das partículas, pode ser visualizado num software de visualização projetado para este fim (um pós-processador).

Correntemente, o DEM é aceito como um método de análise eficaz para simular problemas de engenharia que envolve grãos e materiais descontínuos como escoamento granular e geomecânica. Os recentes avanços na capacidade de solução de grandes sistemas de equações seja por desenvolvimento e redução de preços dos computadores, processamento paralelo e dos algoritmos numéricos, permitem a solução de problemas computacionalmente intensivos, com número grande de partículas.

 

Figura 3 – Representação do contato entre partículas (formato esférico).

A premissa fundamental do método é que o material consiste de partículas discretas, separadas. Estas partículas podem ter diferentes formas e propriedades como, por exemplo: grãos, pedras, areia, toner, comprimidos, açúcar.

 

As indústrias que tipicamente usam o DEM são: agrícola, alimentos, química, mineração, farmacêutica, metalurgia do pó, engenharia civil, indústria de óleo e gás, processamento de minérios.

Método dos Volumes Finitos (FVM)

O método de volumes finitos (Finite Volume Method – FVM em inglês) foi introduzido na década de 1970 por McDonald, MacCormack e Paullay e, historicamente, tem sido o método preferido pelos cientistas e engenheiros que trabalham com a mecânica de fluidos, embora ele, FVM, não se limite apenas a solução de problemas de mecânica de fluidos.

Correntemente, o método dos volumes finitos é usado para resolver problemas da mecânica dos fluidos alguns deles considerados complexos como os que envolvem  fluxos multifásicos, reativos, ou fortemente turbulentos. Na prática, o FVM mostrou-se o método mais eficaz no cálculo e solução de diferentes problemas de mecânica dos fluidos.

Considere-se que  no método de volumes finitos há a decomposição (discretização) do domínio contínuo em pequenos volumes, chamados de volumes de controle (VCs), onde as variáveis são calculadas e armazenadas nos nós ou no centro do volume. Estes volumes de controle são conectados por estes nós e  definem uma grade numérica chamada   malha ilustrada na Figura 1.  A figura 2 mostra os nós (ali chamados Nodos) nos vértices e centro dos volumes.

No Método dos Volumes Finitos usa-se a ideia de observação de Euler, isto é, material flui por um volume de controle fixo.  A partir dos valores calculados nos nós e centros dos volumes de controle obtém-se uma solução que é transportada para o restante do domínio.

 

Figura 4: Malhas superficiais coloridas pela razão de aspecto da célula. Disponível em https://blog.pointwise.com

Os princípios de conservação da massa, momentum (quantidade de movimento) e energia, são a base da modelagem matemática no Método dos Volumes Finitos para a mecânica do contínuo. Por definição, estes princípios são respeitados pelas equações montadas a partir da discretização do contínuo que se realiza neste método. De forma geral o FVM envolve os seguintes passos:

  • Decompor o domínio em volumes de controle;
  • Formular as equações integrais de conservação para cada volume de controle;
  • Aproximar numericamente as integrais;
  • Aproximar os valores das variáveis nas faces e as derivadas com a informação das variáveis nodais;
  • Montar e resolver o sistema algébrico obtido;

O sistema de equações é resolvido e como resultado obtêm-se respostas como pressão, temperatura e velocidade. Observe-se que é uma solução numérica aproximada. Um aspecto fundamental nos algoritmos de solução é o processo de decomposição  de matrizes onde diversas técnicas têm sido desenvolvidas para aumentar a eficiência do uso de recursos computacionais e a velocidade da obtenção de resultados.

Figura 5: Nós nos vértices dos VCs (esquerda) e nós nos centros dos VCs (direita) para uma grade quadrilátera.

Veja mais sobre o método dos volumes finitos aqui.

Outros métodos numéricos usados para solução de problemas de engenharia:

Método dos Elementos de Contorno (BEM)

O método dos elementos de contorno (em inglês: boundary element method (BEM)) é um método computacional para a solução de sistemas de equações diferenciais, formuladas em forma integral. É aplicado em diversas áreas da engenharia, como por exemplo, em mecânica dos fluidos, acústica, eletromagnetismo e mecânica de fraturas.

No BEM o contorno do domínio em estudo é discretizado (dividido em elementos). Isto, em muitos casos, reduz drasticamente o tamanho do problema, além de ser mais simples a implementação de pré-processadores (geradores de geometria e de malha). Uma vez encontrada a solução no contorno, no estágio de pós-processamento, as equações integrais são novamente usadas para calcular numericamente a solução em qualquer ponto no interior do domínio envolvido pelo contorno.

Método das Diferenças Finitas (FDM)

Em matemática, os métodos de diferença finita (FDM – Finite Difference Method em inglês) são métodos numéricos para resolver equações diferenciais, aproximando-os com equações de diferença, nas quais as diferenças finitas se aproximam das derivadas. Os FDMs são, portanto, métodos de discretização.  O método de diferenças finitas depende da discretização de uma função em uma grade (“grid”).

Método de Lattice-Boltzmann

Lattice Boltzmann é frequentemente considerado como um solver numérico da equação de Boltzmann. A equação de Boltzmann é o análogo da equação de Navier-Stokes a nível molecular, onde descreve a dinâmica espaço-temporal de uma quantidade estatística chamada função de distribuição de probabilidade, que é definida em espaço de fase de seis dimensões. O número de fenômenos físicos cobertos pelo modelo neste nível molecular de descrição é maior do que no nível hidrodinâmico da equação de Navier-Stokes.

 



Analista de CAE

Araujo é graduado em Engenharia Naval e mestre em Engenharia Naval e Oceânica pela USP. Atualmente é engenheiro consultor técnico da ESSS e aluno de doutorado no ITA. Tem experiência em Estruturas Aeronáuticas, incluindo materiais compósitos, e em softwares baseados no método dos elementos finitos.


Ver mais postagens